Matematika

1. Notasi Faktorial

Jika ada 3 unsur yang hendak ditempatkan pada 3 tempat dengan posisi tidak melingkar, maka banyaknya susunan yang berbeda adalah 3 x 2 x 1 = 6
Dalam matematika perkalian 3 x 2 x 1 dinotasikan dengan 3! Dibaca 3 faktorial. Demikian juga dengan
(i)                 4! = 4 x 3 x 2 x 1
(ii)               5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
(iii)             10! = 10 x 9 x 8 … 3 x 2 x 1
Jadi untuk n bilangan bulat positif, maka
n! = n (n-1) (n-2) x . . . x 3 x 2 x 1
dalam hal ini didefinisikan :
1! = 1 dan 0! = 1

1. Permutasi
   1. Permutasi dengan Semua Unsur Berbeda

Permutasi adalah susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari n unsur, yang diambil dari n unsur atau sebagian unsur.
Teorema :
Jika ada n unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyak susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah P(n,n) = n!
P(n,n) dibaca permutasi tingkat n dari n unsur
P(n,n) = n!
Bukti :
Misalkan diketahui n buah unsur akan disusun dalam n tempat yang tidak melingkar.
Tempat pertama diisi dengan n cara karena ada n unsur. Tempat kedua diisi dengan (n-1) cara karena sebuah unsur telah diisikan pada tempat pertama, tempat ketiga diisi dengan (n-2) cara dan seterusnya sampai tempat ke (n-1) diisi dengan 2 cara dan tempat ke-n (terakhir) diisi dengan 1 car. Secara keseluruhan banyak cara unttuk membuat susunan (permutasi) yang berbeda adalah :
n (n-1) (n-2) (n-3) . . . 3 . 2 . 1 = n!

1. Permutasi dengan Sebagian Unsur yang Berbeda

Permutasi P(n, n) seperti contoh di atas menunjukkan bahwa dari n unsur yang tersedia diambil seluruhnya untuk disusun. Dari n unsur dapat pula dibuat susunan yang hanya berunsur r untuk r < n dengan memperhatikan urutannya.
Kita dapat menulis tiga anggota himpunan { a, b, c, d} menjadi 24 urutan seperti berikut ini.
abc      bac       cab       dab
abd     bad      cad      dac
acb      bca       cba       dba
acd     bad      cbd      dbc
adb     bda      cda      dcb
adc     bdc      cdb      dca
Setiap urutan atau susunan dari huruf tersebut disebut permutasi himpunan { a, b, c, d}
Permutasi adalah sembarang susunan dari elemen-elemen suatu himpunan berdasarkan urutan,
Banyaknya permutasi di atas diperoleh dari pengisian tempat
4 x 3 x 2
Teorema :
Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n buah unsur yang berbeda adalah P(n,r)  untuk r < n.
P(n,r) dibaca permutasi tingkat r dari n

1. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama

Misalkan terdapat 7 bendera, terdiri 4 bendera berwarna selain putih dan 3 bendera putih. Bendera-bendera tersebut akan dipasang di salah satu sisi gerbang suatu kantor. Meskipun terdapat 7 bendera, dua atau lebih bendera di antaranya berwarna sama, tetapi tidak dapat membedakan posisi yang satu dengan posisi yang lain. Kita mengetahui bahwa bendera-bendera tersebut dapat disusun ddengan cara permutasi yaitu 7!, namun dengan adanya beberapa bendera berwarna sama, kita tidak dapat membedakan permutasi tersebut secara utuh.
Di bawah ini akan dibahas cara mencari banyak permutasi dengan beberapa elemen yang sama.
Jika kumpulan huruf { a, b, c, d} dipermutasikan 4 unsur, maka banyaknya permutasi tersebut adalah  = 24. Hasil permutassi tersebut adalah
abcd     bacd      cabd      dabc
abdc     badc      cadb      dacb
acbd     bcad      cbad      dbac
acdb     bcda      acda      dbca
adbc     bdac      cdab      dcab
adcb     bdca      cdba      dcba
apabila huruf a = b = p dan huruf c = d = q, maka kumpulan hurufny adalah { p, p, q, q}. Hasil permutasi dari keempat huruf tersebut dengan banyaknya huruf p ada 2 dan banyaknya huruf q ada 2 adalah ppqq, pqpq, qpqp, qqpp, qppq yaitu ada 6 macam permutasi. Sehingga,
dari unsur { p, p, q, q} ialah 24,
dari unsur {p, p} ialah 2, dan
dari unsur {q, q} ialah 2
Jadi banyaknya permutasi empat-empat dari unsur {p, p, q, q} ialah

Secara umum dapat dirumuskan permutasi dengan unsur-unsur yang sama adalah sebagai berikut :
Jika terdapat n obyek dengan  merupakan jenis pertama,  merupakan jenis kedua,… dan  merupakan jenis ke-k ; dengan adanya n obyek maka terdapat n! Permutasi. Apabila P dalah banyak permutasi yang berbeda, jenis pertama mempunyai , jenis kedua mempunyai ! Dan seterusnya. Berdasarkan kaidah perkalian diperoleh permutasi :

Karena banyaknya obyek adalah n unsur, maka :

Sehingga,

1. Permutasi Siklis (Permutasi Melingkar)

Misalkan kita akan menyusun 4 huruf A, B, C, dan D secara melingkar, dengan catatan bahwa ABCD, BCAD, CDAB, dan DABC tidak dibedakan, jadi dalam hal ini sebuah huruf akan selalu menempati jalan lingkaran tersebut. Dengan kaidah pencacahan, kita dapat menyajikan seperti berikut :
1 x 3 x 2 x 1 = 3! Atau (4-1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek adalah (n-1)!

1. Kombinasi

Jika kita memiliki sekumpulan data S = {a, b, c} dipermutasikan dua –dua dari tiga unsur yaitu P(3, 2) maka susunan peermutasinya ada 6 sebagai berikut :
ab, ac, bc, ba, ca, cb
dengan asumsi bahwa ab ≠ ba, ac ≠ ca, dan bc ≠ cb
misalnya a = 1, b = 2, c = 3, berarti bilangan puluhan yang dapat disusun dari kumpulan angka {1, 2, 3} adalah
12, 13, 23, 21, 31, 32
Namun masalahnya akan sangat berbeda jika seandainya a = Ali, b = Bahrun, c = Chalid, artinnya sekumpulan data S = {a, b, c} merupakan kumpulan nama-nama orang. Permutasi dua-dua dari tiga unsur tersebut yaitu ab, ac, bd dimana ab = ba, ac = ca, bc = cb.
Perbedaan banyaknya permutasi di atas hanya masalah “dengan “ atau tanpa memperhatikan susunannya
Jadi,
(i)                 Permutasi dua-dua dari tiga unsur {a, b, c} “dengan memperhatikan urutannya” adalah b, c, bc, ba, ca, dan cb
(ii)               Permutasi dua-dua dari tiga unsur {a, b, c} “tanpa memperhatikan urutannya” adalah ab, ac, dan bc
Suatu permutasi “tanpa memperhatikan urutan unsur yang terpilih” disebut Kombinasi. Pada contoh kasus di atas yaitu permutasi 2 unsur dari 3 unsur yag diketahui tanpa memperhatikan urutannya ditulis dengan simbol C(3,2)
Jadi, banyaknya kombinasi 2 unsur dari 3 unsur adalah C(3,2) = 3
Secara umum kombinasi r unsur dari n unsur yang diketahu dimana r ≤ n adalah :
C(n.\, r) =